遗传图族上的近最优可着色性

本文系统性地研究了一个与完美图及 Lov{\'a}sz theta 函数密切相关的新概念——近最优可着色性。若存在一个常数 $c$，使得图族 $\mathcal{G}$ 中每张图 $G\in\mathcal{G}$ 均满足 $\chi(G)\leq\max\{c, \omega(G)\}$（其中 $\chi(G)$ 与 $\omega(G)$ 分别为 $G$ 的色数与团数），则称该图族为{\em 近最优可着色}的。近最优可着色图族与 Lov{\'a}sz theta 函数可用于研究遗传图族的色数问题。我们考察了 ($H_1,H_2$)-自由图的近最优可着色性。主要结果是对 ($H_1,H_2$)-自由图的近最优可着色性给出了几乎完全的刻画，仅余两个例外情形，其中之一即为著名的 Gy{\'a}rf{\'a}s 猜想。作为我们结果的应用，我们证明了 ($2K_2,P_4\vee K_n$)-自由图的色数问题是多项式时间可解的，从而解决了 [K.~K.~Dabrowski and D.~Paulusma. On colouring ($2P_2$, $H$)-free and ($P_5$, $H$)-free graphs. Information Processing Letters, 134:35-41, 2018] 中的一个开放问题。