和谐色数近似与精确结果

图着色是图论中的基本课题，要求在各式约束下为顶点或边分配标号（或颜色）。我们关注图的和谐着色，即一种正常顶点着色，使得对任意两种不同颜色 i、j，至多有一对相邻顶点被着以 i 和 j。此类着色具有边区分性，在交通网络、计算机网络、航线网络系统中具有潜在应用。本文结果分为两类：论文第一部分关注寻找最小和谐着色的计算方面，第二部分确定了若干特定图及图类的和谐色数精确值。更确切地说，在第一部分中我们证明对任意图寻找最小和谐着色是 APX-hard 的，自然贪心算法是 $\Omega(\sqrt{n})$-近似，并且我们展示了顶点覆盖与和谐色数之间的关系。在第二部分中我们确定了所有直径为 3 的 3-正则平面图、一些非平面正则图以及与圈相关的图的和谐色数精确值。