着色与孤独图

我们改进了 \cite{reedNote} 和 \cite{ingo} 中独立证明的色数上界。我们的主要引理给出了图中两条路径完全连接的一个充分条件。利用这一点，我们证明了如果一个图的最优着色包含多于 $\frac{\omega}{2}$ 个单元素色类，则它满足 $\chi \leq \frac{\omega + \Delta + 1}{2}$。由此可知，满足 $n - \Delta < \alpha + \frac{\omega - 1}{2}$ 的图也必须满足 $\chi \leq \frac{\omega + \Delta + 1}{2}$，从而改进了 \cite{reedNote} 和 \cite{ingo} 中的界。接着，我们给出一个简单的论证，表明如果一个图满足 $\chi > \frac{n + 3 - \alpha}{2}$，那么它也满足 $\chi(G) \leq \left\lceil\frac{\omega(G) + \Delta(G) + 1}{2}\right\rceil$。由此可知，满足 $n - \Delta < \alpha + \omega$ 的图也满足 $\chi(G) \leq \left\lceil\frac{\omega(G) + \Delta(G) + 1}{2}\right\rceil$，尽管付出了取整的代价，但这进一步改进了 \cite{reedNote} 和 \cite{ingo} 中的界。在后续部分中，我们将主要引理推广到约束着色（例如 r-有界着色）。我们提出了 Reed 猜想到 r-有界着色的推广，并证明了该猜想对于最大度接近其阶数的图成立。最后，我们概述了此处提出的理论在 Borodin-Kostochka 猜想以及含双临界边图的着色问题中的一些应用（见 \cite{BorodinKostochka} 和 \cite{ColoringWithDoublyCriticalEdge}）。