无大团图的图中以 Δ 的一个分数界定 χ

贪心着色算法表明,最大度至多为 $\Delta$ 的图的色数至多为 $\Delta + 1$,而这对团图是紧的。人们已投入大量精力来改进无大团图的这一“贪心界”。Brooks 著名地证明,若 $\Delta \geq 3$ 且图不含大小为 $\Delta + 1$ 的团,则该界可改进 1。Reed 猜想称,若图不含大小为 $\Delta + 1 - 2k$ 的团,则“贪心界”可改进 $k$。Johansson 证明,对于无三角形或不含任意固定大小团图的图,“贪心界”可分别改进 $\Omega(\ln(\Delta)^{-1})$ 或 $\Omega\left(\frac{\ln(\ln(\Delta))}{\ln(\Delta)}\right)$ 的因子。明显缺失的是对无大团图的“贪心界”的线性改进。在本文中,我们证明对于足够大的 $\Delta$,若 $G$ 是最大度至多为 $\Delta$ 且不含大小为 $\omega$ 的团的图,则 $$\chi(G) \leq 72\Delta\sqrt{\frac{\ln(\omega)}{\ln(\Delta)}}.$$ 这意味着对于足够大的 $\Delta$,若 $\omega^{(72c)^2} \leq \Delta$,则 $\chi(G) \leq \Delta/c$。该界实际上对列表色数甚至对应色数(亦称 DP 色数)也成立。事实上,我们证明了所谓的“局部版本”,一个当每个顶点可用颜色数依赖于局部参数(如邻域的度与团数)时暗示着色存在性的结果。我们的结果同时蕴含了对“贪心界”的线性改进以及上述 Johansson 的两个结果。