关于 Björner 和 Lovász 的猜想

在证明 Kneser 猜想的过程中，László Lovász 确立了图色数的一个新下界。他证明了如果图 $H$ 的 hom 复形 $||Hom(\mathcal{K}_2, H)||$ 是拓扑 $k$-连通的，那么它的色数 $\chi (H)$ 至少为 $k+3$。之后，他提出了以下猜想，以提供图色数的更好下界。如果 $||Hom(C_{2r+1}, H)||$ 是 $k$-连通的，那么 $\chi (H)\geq k+4$，其中 $C_{2r+1}$ 是长度为 $2r+1$ 的奇圈。最后，Björner 和 Lovász 提出了 Lovász 猜想的一个推广，如下所示。如果 $||Hom(T, H)||$ 是 $k$-连通的，那么 $\chi (H)\geq k+\chi (T) +1$。第一个猜想最初由 Babson 和 Kozlov 通过谱序列的复杂计算得到证实。但第二个猜想被 Hoory 和 Linial 反驳。因此，在那之后，如果对于每个图 $H$，$||Hom(T, H)||$ 的 $k$-连通性意味着 $\chi (H)\geq k + 1 + \chi(H)$，则图 $T$ 被称为测试图。在本文中，我们证明如果图 $F$ 具有一个翻转某条边的对合自同构，那么它就是一个测试图。作为推论，我们给出了 Lovász 猜想的纯组合证明；奇圈是测试图。事实上，虽然 Björner 和 Lovász 猜想一般并不成立，但我们证明了该猜想的一个轻微修改总是成立的。更准确地说，我们证明了对于任何图 $T$，都存在一个超图 $T\subseteq\hat{T}$，其 $\chi(\hat{T})\leq\chi(T)+1$，使得 $\hat{T}$ 是一个测试图。