色数、团数与 Lovász 界：比较研究

在证明 Kneser 猜想的过程中，László Lovász 确立了色数的一个新下界。他证明了如果图 $G$ 的邻域复形 $\mathcal{N}(G)$ 是拓扑 $k$-连通的，那么它的色数至少为 $k+3$。随后，他通过证明该界对于 Kneser 图是紧的，从而完成了他的证明。然而，存在一些图使得该界完全无用，即使与显而易见的界（即团数）相比也是如此。例如，如果一个图不包含完全二部图 $\mathcal{K}_{l, m}$，那么它的 Lovász 界至多为 $l+m-1$。但是，它可以具有任意大的色数。在本文中，我们提出了新的图，表明色数、团数与 Lovász 界之间的差距可以任意大。更确切地说，对于给定的正整数 $l, m$ 和 $2\leq p\leq q$，我们构造了一个包含 $\mathcal{K}_{l,m}$ 副本的连通图，其色数、团数和 Lovász 界分别为 $q$、$p$ 和 $3$。