最大度较小的图的正规着色副本与彩虹副本

设 $G$ 是 $n$ 个顶点上最大度为 $D$ 的图。我们使用 Lovász 局部引理证明关于完全图 $K_n$ 的边着色 $c$ 的以下两个结果。如果对于 $K_n$ 的每个顶点 $v$，着色 $c$ 将每种颜色分配给从 $v$ 出发的至多 $(n-2)/22.4D^2$ 条边，那么 $K_n$ 中存在 $G$ 的一个副本，该副本被 $c$ 正规边着色。这改进了 Alon、Jiang、Miller 和 Pritikin [Random Struct. Algorithms 23(4), 409-433, 2003] 的一个结果。另一方面，如果 $c$ 将每种颜色分配给 $K_n$ 的至多 $n/51D^2$ 条边，那么 $K_n$ 中存在 $G$ 的一个副本，使得 $G$ 的每条边从 $c$ 获得不同的颜色。这证明了 Frieze 和 Krivelevich [Electron. J. Comb. 15(1), R59, 2008] 的一个猜想。我们的证明依赖于 Lu 和 Székely [Electron. J. Comb. 14(1), R63, 2007] 为将局部引理应用于随机注入而开发的框架。为了改进结果中的常数，我们使用了 Bissacot、Fernández、Procacci 和 Scoppola [预印本, arXiv:0910.1824] 提出的局部引理的一个版本。