完全图 Kronecker 积的 $r$-均衡色阈

如果图 $G$ 的顶点集可以划分为 $k$ 个独立集，且其中任意两个独立集的大小之差不超过 $r$，则称图 $G$ 是 $r$-均衡 $k$-可着色的。图 $G$ 的 $r$-均衡色阈（记为 $\chi_{r=}^*(G)$）是指使得 $G$ 对所有 $k'\ge k$ 均为 $r$-均衡 $k'$-可着色的最小 $k$ 值。令 $G\times H$ 表示图 $G$ 和 $H$ 的 Kronecker 积。在本文中，我们完全确定了对于一般 $m,n$ 和 $r$ 的 $\chi_{r=}^*(K_m\times K_n)$ 的精确值。作为推论，我们证明了对于 $r\ge 2$，若 $n\ge \frac{1}{r-1}(m+r)(m+2r-1)$，则 $K_m\times K_n$ 及其生成超图 $K_{m(n)}$ 具有相同的 $r$-均衡可着色性，特别地 $\chi_{r=}^*(K_m\times K_n)=\chi_{r=}^*(K_{m(n)})$，其中 $K_{m(n)}$ 是每部包含 $n$ 个顶点的完全 $m$-部图。