完全图 Kronecker 积的均衡色阈值

图的正常顶点着色若其各色类的大小之差不超过 1，则称为均衡的。图 $G$ 的均衡色阈值（记为 $\chi_=^*(G)$）是满足对所有 $k^\prime \ge k$，$G$ 均为均衡 $k^\prime$-可着色的最小整数 $k$。令 $G\times H$ 表示图 $G$ 和 $H$ 的直积。对于 $n\ge m\ge 2$，我们证明：若 $n\equiv 2,...,m (\textup{mod} m+1)$，则 $\chi_=^*(K_{m} \times K_n)$ 等于 $\lceil\frac{mn}{m+1}\rceil$；若 $n\equiv 0,1 (\textup{mod} m+1)$，则等于 $m\lceil\frac{n}{s^\star}\rceil$，其中 $s^\star$ 是满足 $s^\star \nmid n$ 且 $s^\star\ge m+2$ 的最小正整数。