基于共识划分的 Kneser 超图色数

我们证明共识划分（Consensus Division）定理蕴含了 Kneser 超图色数的下界，为 Alon、Frankl 和 Lov\'{a}sz（Trans. Amer. Math. Soc., 1986）的结果及其由 K\v{r}\'{\i}\v{z}（Trans. Amer. Math. Soc., 1992）给出的推广提供了一种新颖的证明。我们的方法被应用于研究全搜索问题 Kneser$^p$ 的计算复杂性，该问题给定一个 $p$-一致 Kneser 超图用少于其色数的颜色着色的简洁表示，要求找到一个单色超边。我们证明，对于每个素数 $p$，具有对输入着色扩展访问权限的 Kneser$^p$ 问题可有效归约到具有 $p$ 份的共识划分问题的一个相当弱的近似。特别地，对于 $p=2$，该问题可有效归约到归一化单调函数上共识平分（Consensus Halving）问题的任意非平凡近似。我们进一步证明，对于每个素数 $p$，Kneser$^p$ 问题属于复杂性类 $\mathsf{PPA}$-$p$。作为一个应用，我们确立了限于具有有界颜色数的着色的 Kneser$^p$ 问题的复杂性限制。