基于投影梯度下降的最优量化压缩感知

本文对从一般量化测量 $\mathcal{Q}(\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{\tau})$ 中恢复驻点集信号的任务进行统一处理，其中 $\mathbf{A}$ 为测量矩阵，$\mathbf{\tau}$ 为（可能为随机）量化阈值向量，$\mathcal{Q}$ 表示 $L$ 级量化器。具有一致量化测量的理想估计器在重要实例中最优，但通常难以计算。为此，我们研究基于单侧 $\ell_1$ 损失的投影梯度下降（PGD）算法，识别 PGD 达到相同误差率（最多 logarithmic 因子）的条件。这些条件包括分离概率估计、小球概率估计和一些易于验证的矩估计。对于多位情形，我们还发展了一种基于产品嵌入的补充方法，以显示全局收敛。当应用于高斯 $\mathbf{A}$ 为零 $\mathbf{\tau}$ 的 1 位压缩感知以及具有亚高斯 $\mathbf{A}$ 和均匀 dither $\mathbf{\tau}$ 的 dithered 1 位/多位模型时，我们的统一处理方法产生的误差率在所有实例中均优于或匹配最尖结果。特别地，PGD 实现了恢复 $k$ 稀疏信号的信息论最优率 $\tilde{O}(\frac{k}{mL})$，以及有效稀疏信号的率 $\tilde{O}((\frac{k}{mL})^{1/3})$。对于稀疏信号的 1 位压缩感知，我们的结果恢复了最近几年证明的归一化二进制迭代硬阈值（NBIHT）的最优性。