关于领结图的谱超饱和问题再探

极值图论的一个核心课题是超饱和问题，研究在边数超过相应 Tur\'an 数的任意图中必定出现的固定子结构的最小副本数。Erd\H{o}s、Rademacher、Lov\'asz 和 Simonovits 的重要工作研究了三角形的超饱和问题。此外，Kang、Makai 和 Pikhurko 研究了领结图（由共享一个顶点的两个三角形组成）的情形。基于 Bollob\'as、Nikiforov、Ning 和 Zhai 在通过谱半径计数三角形方面的基础性成果，本文研究了领结图的谱超饱和问题。设 $\lambda (G)$ 为图 $G$ 的谱半径，并设 $K_{\lceil \frac{n}{2}\rceil, \lfloor \frac{n}{2}\rfloor}^q$ 为在 Tur\'an 图 $T_{n,2}$ 中向大小为 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ 的部集添加 $q$ 条两两不相交的边后得到的图。首先，我们证明存在一个绝对常数 $\delta >0$，使得若 $n$ 充分大，$2\le q \le \delta \sqrt{n}$，且 $G$ 是一个满足 $\lambda (G)\ge \lambda (K_{\lceil \frac{n}{2}\rceil, \lfloor \frac{n}{2}\rfloor}^q)$ 的 $n$ 顶点图，则 $G$ 至少包含 ${q\choose 2}\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 个领结图，且 $K_{\lceil \frac{n}{2}\rceil, \lfloor \frac{n}{2}\rfloor}^q$ 是唯一的谱极值图。这解决了 Li、Feng 和 Peng 提出的一个公开问题。其次，我们证明谱半径超过领结图谱极值图的图 $G$ 必定至少包含 $\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$ 个领结图。这一精确的界揭示了与边超饱和情形不同的现象，后者保证至少出现 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 个领结图。