超越色临界图的超饱和问题

给定图 $F$ 的超饱和问题询问具有 $ex(n,F)+q$ 条边的 $n$ 顶点图中 $F$ 副本的最小数量 $h_F(n,q)$。Rademacher、Erd\H{o}s 以及 Lov\'{a}sz 与 Simonovits 的后续工作确定了团 $F$ 的最优 $q$ 范围（关于 $n$ 线性），使得 $h_F(n,q)$ 等于由一个最大 $F$ 自由 $n$ 顶点图添加 $q$ 条新边所得的 $F$ 副本最小数量 $t_F(n,q)$。Mubayi 的一项突破性结果将这一研究从团推广到色临界图 $F$，Pikhurko 与 Yilma 进一步强化了该结果，建立了对于 $1\leq q\leq \epsilon_F n$ 且 $n$ 足够大时的等式 $h_F(n,q)=t_F(n,q)$。本文给出若干超越现有框架的超饱和问题结果。首先，我们显式构造无穷多具有受限性质的图 $F$，使得当 $n\gg q\geq 4$ 时成立 $h_F(n,q)<q\cdot t_F(n,1)$，从而反驳了 Mubayi 的一个猜想。其次，我们推广 Pikhurko-Yilma 的结果，证明对于多样且丰富的图族（包含色临界图、团的 disjoint unions $K_r$ 以及 Petersen 图）中任意成员 $F$，在 $1\leq q\leq \epsilon_F n$ 范围内等式 $h_F(n,q)=t_F(n,q)$ 成立。最后，我们证明对任意正整数 $s$ 存在图 $F$，使得当 $1\leq q\leq \epsilon_F n^{1-1/s}$ 时 $h_F(n,q)=t_F(n,q)$ 成立，而当 $n^{1-1/s}/\epsilon_F\leq q\leq \epsilon_F n$ 时 $h_F(n,q)<t_F(n,q)$，表明 $q=\Theta(n^{1-1/s})$ 是等式 $h_F(n,q)=t_F(n,q)$ 的阈值。我们还讨论了一些补充注记与相关开放问题。