通过 (p,q) 定理超越色谱阈值，及锐利的爆炸现象

我们在极端组合学中著名的色谱阈值问题与离散几何中的著名 (p,q) 定理之间建立了新的联系。具体而言，对于 clique 数受限的图 G 满足自然密度条件时，我们证明了与 G 关联的抽象凸性空间满足 (p,q) 定理。我们的结果强化了 Thomassen 和 Nikiforov 对 clique 色谱阈值的论述。我们的 (p,q) 定理也可以视为对我们所称的超极大 K_r 免疫图的 χ-受限性结果。我们进一步表明所研究的图是常数大小图的爆炸图，这改进了 Oberkampf 和 Schacht 对 clique 同态阈值问题的论述。我们的结果揭示了这种爆炸现象背后的成因，区分了 clique 的色谱阈值问题和同态阈值问题。它暗示对于同态阈值问题，决定性因素是共线邻域顶点间的 clique 密度条件，而非文献中通常考虑的最小度条件。更精确地，我们表明若一个 n 顶点 K_r 免疫图 G 满足：每对非相邻顶点的公共邻域诱导的子图具有至少 ε>0 的 K_{r-2} 密度，则 G 必为某个至多为 2^{O(\frac{r}{\varepsilon}\log\frac{1}{\varepsilon})} 顶点的 K_r 免疫图 F 的爆炸图。进一步地，这个单指数界是最佳的。我们构造了没有小于 2^{\Omega_r(\frac{1}{\varepsilon})} 的 K_r 免疫同态图的例子。