A Recolouring Version of a Conjecture of Reed

Reed conjectured that任意图的染色数都接近其 clique 数而非其最大度数加一。我们考虑该猜想的重新上色版本，关于Kempe变更。也就是说，我们调查满足$all~graphs~G~are~k$-recolourable for all $k \ge \lceil \varepsilon \omega(G) + (1 -\varepsilon)(\Delta(G)+1) \rceil$的最大$\varepsilon$值。对于一般图，已有冻结上色构造表明$\varepsilon \le 1/3$。我们证明该构造在下方无冻结上色，因此对该阈值最优。基于此，我们推断$\varepsilon = 1/3$。对于无三角环的图，我们给出一种冻结上色构造表明$\varepsilon \le 4/9$，并证明其最优性。在奇环免除的图中，我们证明$\varepsilon = 1/2$，且该值在最多一个颜色上紧密。