图的 Reed 猜想类比

1998 年，Reed 猜想每张图 $G$ 满足 $\chi(G) \leq \lceil \frac{\Delta(G)+1+\omega(G)}{2} \rceil$。作为部分结果，他证明存在 $\varepsilon > 0$，使得每张图 $G$ 满足 $\chi(G) \leq \lceil (1-\varepsilon)(\Delta(G)+1)+\varepsilon\omega(G) \rceil$。我们提出针对有向图的类比猜想。给定有向图 $D$，记 $\vec{\chi}(D)$ 为其染色数，这是将 $D$ 划分为无环诱导子图所需的最小颜色数。记 $\overleftrightarrow{\omega}(D)$ 为 $D$ 中最大biclique（诱导完全有向图）的大小，$\tilde{\Delta}(D) = \max_{v\in V(D)} \sqrt{d^+(v) \cdot d^-(v)}$。我们猜想每张有向图 $D$ 满足 $\vec{\chi}(D) \leq \lceil \frac{\tilde{\Delta}(D)+1+\overleftrightarrow{\omega}(D)}{2} \rceil$，若成立则蕴含 Reed 猜想。作为部分结果，我们证明存在 $\varepsilon >0$，使得每张有向图 $D$ 满足 $\vec{\chi}(D) \leq \lceil (1-\varepsilon)(\tilde{\Delta}(D)+1)+\varepsilon\overleftrightarrow{\omega}(D) \rceil$。这不仅蕴含 Reed 的结果，也蕴含 Harutyunyan 和 Mohar 关于有向图的独立结果。为获得 $\vec{\chi}$ 的该上界，我们证明每张有向图 $D$ 若满足 $\overleftrightarrow{\omega}(D) > \frac{2}{3}(\Delta_{\max}(D)+1)$，其中 $\Delta_{\max}(D) = \max_{v\in V(D)} \max(d^+(v),d^-(v))$，则其存在一个顶点集，该集与 $D$ 中每个biclique相交，从而概括了 King 的某结果。我们最终给出一种简短的证明，表明所有有向图 $D$ 满足 $\vec{\chi}(D) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \Tilde{\Delta}(D) + 2$，改进了 Golowich 的某结果。