局部稀疏图的独立数与色数界

在本文中，我们考虑 Anderson、Kuchukova 及作者最近引入的局部稀疏性的更一般版本。具体而言，若对于每个顶点 $v \in V(G)$，由其邻域导出的子图至多包含 $k$ 个大小为 $r$ 的团，则称图 $G = (V, E)$ 为 $(k, r)$-局部稀疏的。对于 $r \geq 3$ 和 $\epsilon \in [0, 1]$，我们证明最大度为 $\Delta$ 的 $n$ 顶点 $(\Delta^{\epsilon r}, r)$-局部稀疏图 $G$ 满足 $\alpha(G) \geq (1-o(1))\dfrac{n}{\eta\Delta}$ 且 $\chi(G) \leq \Theta\left(\eta\Delta\right)$，其中 $\eta := \epsilon + \dfrac{r\log\log \Delta}{\log \Delta}$。当 $\epsilon$ 不太大时，$\Theta(\cdot)$ 中的隐含常数可取为 $1+o(1)$。令 $\epsilon = 0$，我们恢复了 Shearer 和 Johansson 关于 $K_{r+1}$-free 图的经典结果，这些结果近期由 Davies、Kang、Pirot 和 Sereni 加以改进。我们根据硬核模型中的占据分数证明了关于独立数的更强结果，并在对应着色（correspondence coloring）的更一般设定下建立了着色结果的局部版本。