局部稀疏图中的独立横截

设 $G$ 是一个最大度为 $\Delta$ 的图，其顶点集被划分为若干部分 $V(G) = V_1 \cup ... \cup V_r$。横截是指 $V(G)$ 的一个子集，其中恰好包含每个部分 $V_i$ 中的一个顶点。如果它也是一个独立集，则称其为独立横截。$G$ 的局部度定义为对所有部分 $V_i$ 和顶点 $v \not \in V_i$ 的选择中，顶点 $v$ 在部分 $V_i$ 内的邻居数的最大值。我们证明，对于任意固定的 $\epsilon > 0$，如果所有部分的大小 $|V_i| \ge (1+\epsilon)\Delta$ 且 $G$ 的局部度为 $o(\Delta)$，则对于充分大的 $\Delta$，$G$ 存在一个独立横截。这一结果扩展了此前的若干结论，并以更强的形式解决了 Aharoni 和 Holzman 的一个猜想。随后，我们将此结果推广到诱导出不含大小为 $s$ 的团的横截。（注意，独立横截对应于 $s=2$ 的情形。）在此背景下，我们证明若部分大小 $|V_i| \ge (1+\epsilon)[\Delta/(s-1)]$ 且局部度为 $o(\Delta)$，则保证存在此类横截，并给出了一个构造表明该结果是渐近紧的。