独立横截元的度判据与稳定性

在具有给定顶点划分 $P$ 的图 $G$ 中，\emph{独立横截元}（IT）是 $G$ 的一个独立顶点集（即不诱导任何边），且由 $P$ 的每个部分（\emph{块}）中各取一个顶点组成。多年来，人们建立了各种保证 IT 存在的判据，常以 $P$ 为 $t$-\emph{厚}（即所有块大小至少为 $t$）来表述。Wanless 和 Wood 最近得到的一个此类结果基于\emph{最大平均块度} $b(G,P)=\max\{\sum_{u\in U} d(u)/|U| : U \in P\}$。他们证明了若 $b(G,P)\leq t/4$ 则存在 IT。本文解决了 Groenland、Kaiser、Treffers 和 Wales 提出的一个问题（他们证明了比值 $1/4$ 是最佳可能的），给出了对所有 $t>0$ 满足如下条件的配对 $(\alpha,\beta)$ 的完整刻画：每当 $G$ 是最大度 $\Delta(G)\leq\alpha t$ 的图，且 $P$ 是 $G$ 的 $t$-厚顶点划分使得 $b(G,P)\leq \beta t$ 时，$G$ 相对于 $P$ 存在 IT。我们的证明利用了另一个先前已知的 IT 存在判据，该判据涉及图独立复形的拓扑连通性，并建立了关于该参数被已知量上界所限的图结构的一般技术性定理。我们的结果介于判据 $b(G,P)\leq t/4$ 与古老且常被应用的定理“若 $\Delta(G)\leq t/2$ 则存在 IT”之间。使用相同方法，我们还通过给出后一结果的稳定性版本，推广了 Aharoni、Holzman、Howard 和 Spr"ussel 的定理。