图上的覆盖阵列：定性独立图与极值集合划分理论

本论文的主要焦点是覆盖阵列的一种推广，即图上的覆盖阵列。若Z_k^n中的两个向量v,w满足对任意有序对(a,b)∈Z_k×Z_k，在向量中存在位置i使得(a,b)=(v_i,w_i)，则称v,w定性独立。覆盖阵列是一类阵列，其任意两行均定性独立。图上的覆盖阵列是一类阵列，对图的每个顶点有一行，且任意两行若对应相邻顶点则定性独立。为覆盖阵列添加图结构使得有可能利用图论方法研究这些设计。在本文中，我们定义了一类称为定性独立图的图族。一个图具有给定参数的覆盖阵列，当且仅当存在从该图到某个特定定性独立图的同态。定性独立图中的团与覆盖阵列相关，而独立集与相交划分系统相连。已知最优二元覆盖阵列的精确大小可借助Sperner定理与Erdos-Ko-Rado定理确定。由于一般覆盖阵列的行对应于集合划分，我们给出Sperner定理与Erdos-Ko-Rado定理到集合划分系统的推广。我们还考虑了一般定性独立图的一个子图，称为均匀定性独立图。我们给出了其中若干图的特征值谱，并猜想它们是结合方案中的图。我们也给出了覆盖阵列的一种新构造，由此得到许多关于最优覆盖阵列大小的新上界。