具有 Erdős-Ko-Rado 性质的非常好覆盖图

图 $G$ 的独立 $r$-集族若其中每个集合都包含某个固定顶点 $v$，则称为 $r$-星。若独立 $r$-集的交族的最大大小等于一个 $r$-星的大小，则该图是 $r$-EKR 的。Holroyd 与 Talbot 猜想：只要 $1\leq r\leq\frac{\mu(G)}{2}$，图就是 $r$-EKR 的，其中 $\mu(G)$ 是极大独立集的最小大小。人们怀疑该猜想的最小反例是一个良覆盖图。此处我们考虑通过在 $G$ 的每个顶点上附加一条悬挂边而得到的非常好覆盖图 $G^*$ 这一类图。我们证明当 $n \geq 2r$ 时悬挂完全图 $K_n^*$ 是 $r$-EKR 的，且当 $n>2r$ 时是严格 $r$-EKR 的。我们也探讨了悬挂路径图 $P_n^*$，并确定了其 $r$-星大小最大的顶点。