完全图中匹配的 Erd\H{o}s--Ko--Rado 定理

我们考虑 Erd\H{o}s--Ko--Rado 定理的以下高阶类比。对于满足 $r \le n$ 的正整数 $r$ 和 $n$，令 $M^r_n$ 为完全图 $K_{2n}$ 中所有大小为 $r$ 的匹配族。对于 $E(K_{2n})$ 中的任意边 $e$，由 $M^r_n$ 中包含 $e$ 的所有集合组成的族 $M^r_n(e)$ 称为以 $e$ 为中心的星。我们证明，如果 $r < n$ 且 $A$ 是 $M^r_n$ 中的相交匹配族，则 $|A| \le |M^r_n(e)|$，其中 $e$ 是 $E(K_{2n})$ 中的一条边。我们还证明，当且仅当 $A$ 是一个星时等号成立。我们用于证明该定理的主要技术是 Katona 优雅的循环方法的类比。