关于长度为 2 的路径之并的 Erdős-Ko-Rado 定理

若族中任意两个集合都相交，则称该集合族为相交族。给定图 $G$ 和整数 $r\geq 1$，令 $\mathcal{I}^{(r)}(G)$ 表示 $G$ 的大小为 $r$ 的独立集族。对 $G$ 的顶点 $v$，包含 $v$ 的大小为 $r$ 的独立集族称为 $r$-星。若 $\mathcal{I}^{(r)}(G)$ 的任意相交子族都不大于最大的 $r$-星，则称 $G$ 是 $r$-EKR 的。设 $n$ 为正整数，令 $G$ 由 $n$ 条互不相交的、每条长度为 2 的路径之并构成。我们证明了若 $1 \leq r \leq n/2$，则 $G$ 是 $r$-EKR 的。这肯定了 Holroyd 和 Talbot 关于此类图的一个长期猜想，可视为关于带符号集合的著名定理的类似结果，后者由 Deza 与 Frankl 以及 Bollob\ás 与 Leader 用不同方法证明。我们的主要方法是对 Katona 优美的循环方法的一种新的概率推广，这本身可能具有独立意义。