树上独立集相交族的研究

一个集合族若其中任意两个集合相交，则称其为相交族。星族是指其每个集合中都包含某个公共元素（中心）的族。经典的 1961 年 Erd\H{o}s、Ko 和 Rado 结果指出，每个由 $r$-元集构成的相交族（$r\leq n/2$）的大小不超过星族的大小。我们称图 $G$ 是 r-EKR 的，若在所有 $G$ 的 $r$-元独立集相交族中，最大者由星族达到。2005 年 Holroyd 和 Talbot 猜想每个图 $G$ 对所有 $1\leq r\leq \mu(G)/2$ 都是 r-EKR 的，其中 $\mu(G)$ 是 $G$ 的最小极大独立集的大小。2011 年我们验证了该猜想对所有包含孤立顶点的弦图成立。对于没有孤立顶点的图，确定最大星族的中心往往困难，而这通常是证明其为 EKR 所需的。一棵树若其最大星出现在某个叶子上，则称其具有叶性质。我们证明了当 $r\leq 4$ 时每棵树都具有叶性质，2017 年 Borg 等人给出了当 $r\geq 5$ 时不具有叶性质的树的例子。树中的分裂顶点是指度数至少为 3 的顶点。蜘蛛树是恰好有一个分裂顶点的树。这里我们证明所有蜘蛛树对所有 $r\leq \alpha(G)$ 都具有叶性质，其中 $\alpha(G)$ 是 $G$ 的独立数，并刻画了其最大星中心的叶子位置。悬挂树是指每个分裂顶点都邻接于一个叶子的树。这里我们证明所有悬挂树对所有 $r\leq \alpha(G)$ 都具有叶性质。我们还考虑恰好有两个分裂顶点的悬挂树，并给出了其最大星中心位置的部分结果。