完美 r 义树中独立集的分布

给定图 $G$，包含固定顶点 $v$ 的大小为 $k$ 的所有独立集的集合称为以 $v$ 为中心的星，记为 $\mathcal{I}_G^k(v)$。受独立集图上埃尔德热-科鲁扬定理推广假说的启发，Hurlbert 和 Kamat 推测对于任意树 $T$ 和任意 $k$，$|\mathcal{I}_T^k(v)|$ 的最大值总是可以在 $T$ 的叶子上取得。尽管这个猜想在一般情况下被证明为假，但已知在蜘蛛树和毛虫树等特定树族中成立。本文我们证明了该猜想对一种新的树族——完美 r 义树中成立，通过构造从以任意顶点为中心的星到以叶子为中心的星的注入映射。我们还显示，对于由大小和秩可能各不相同的完美树的不相连组成的每个森林 $\mathcal{T}$，也hold有这个性质，并确定最大化 $|\mathcal{I}_{\mathcal{T}}^k(v)|$ 的叶子。