Holroyd-Talbot 猜想综述

一个集合家族若满足每对成员之间都有一个公共元素，则称为交叉族。如果某个元素属于该家族中所有集合，则该集合家族称为星形结构。给定图 $G$，记 $\mu(G)$ 为其最小最大独立集的大小。在 2005 年，Holroyd 和 Talbot 提出了以下对 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理的 generalization：对于 $1\le r\le \mu(G)/2$，存在一个最大尺寸的独立 $r$-集交叉族且其为星形结构。本文概述了该猜想的历史，并综述了过去二十年间支持它的研究成果。