完全图笛卡尔积的 EKR 定理

Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理指出，对于 $r \leq \frac{n}{2}$，由 $[n]$ 中 $r$ 子集组成的最大相交家族由固定所有子集中的公共元素的方式给出，这从而确保了两两相交。我们研究了在完全图的笛卡尔积 $K_n \times K_m$ 中，独立集族的这一属性。通过一种新颖的卡托纳循环方法的扩展，我们证明 $K_n \times K_m$ 在 $1 \leq r \leq \frac{\min(m,n)}{2}$ 时为 $r$-EKR，表明 Holroyd--Talbot 猜想对这类完备图的该类具有成立。