Erdős-Ko-Rado 性质的概率推广
组合数学
2012-04-12 v1 概率论
摘要
经典的 Erdős-Ko-Rado (EKR) 定理指出，如果我们从一个大小为 n (n > 2k) 的固定集合中选取一组每个大小为 k 的子集构成的族，那么最大的两两相交族的大小为 t = {n-1\choose k-1}。我们考虑当 n 与 k=k_n 趋于无穷（后者以特定速率）时，随机选取的大小为 t=t_n 的族具有 EKR 性质（两两非空交）的概率。随着 t 增大，EKR 性质出现的可能性变小；而随着 t 变小，EKR 性质以高概率成立。我们利用 Janson 不等式推导了 t 的阈值。利用 Stein-Chen 方法，我们证明了定义为族中不相交子集对个数的 X_0 的分布可由 Poisson 分布近似。我们将结果推广，对 X_i（恰好有 i 个元素重叠的子集对个数）得到类似结论。最后，我们证明了联合分布 (X_0, X_1, ..., X_b) 可由具有独立分量的一维多维 Poisson 向量近似。
引用
@article{arxiv.math/0509382,
title = {Probabilistic Extensions of the Erd\H os-Ko-Rado Property},
author = {Anna Celaya and Anant P. Godbole and Mandy Rae Schleifer},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0509382},
year = {2012}
}
备注
18 pages