基于等周法的 Erdős-Ko-Rado 型定理的稳定性版本

Erdős-Ko-Rado (EKR) 型定理给出了集合族大小的上界，条件是族中集合满足各种相交要求。此类定理的稳定性版本断言，若一个族的大小接近最大可能大小，则该族本身必须（在某种适当意义下）接近一个最大大小的族。本文提出一种通过超立方体子集的等周不等式来获得 EKR 型定理稳定性版本的方法。我们的方法相当通用，能够将多种多样精确的 EKR 型结果提升为这些结果的强稳定性版本，而无需深入原始结果的证明。我们利用该方法得到了 EKR 定理本身以及 Ahlswede-Khachatrian 关于 $\{1,2,\ldots.n\}$ 的 $k$ 元子集的 $t$-相交族定理（对于 $k < \frac{n}{t+1}$）的紧稳定性版本，并证明出人意料的是，当相交要求被弱得多的要求替代时，所有这些结果仍然成立。其他例子包括 Frankl 近期关于 Erdős 匹配猜想的结果、Ellis-Filmus-Friedgut 对 Simonovits-Sós 猜想的证明，以及各种关于 $r$-wise (cross)-$t$-相交族的 EKR 型结果的稳定性版本。