Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理的移除引理与稳定性

若 $[n]$ 的一个 $k$-均匀子集族不包含不相交的集合对，则称其为相交族。对相交族的研究是极值集合论的核心，其历史可追溯至 1961 年奠基性的 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理，该定理给出了此类最大族大小的界。近期的趋势是研究具有少量不相交对的集合族的结构。Friedgut 和 Regev 证明了一个通用的移除引理，表明当 $\gamma n \le k \le (\tfrac12 - \gamma)n$ 时，具有少量不相交对的集合族可以通过移除少量集合变为相交族。我们为大型族提供了一个移除引理的简单证明，表明大小接近 $\ell \binom{n-1}{k-1}$ 且具有相对较少不相交对的族必须接近 $\ell$ 个星形族的并集。我们的引理适用于广泛的均匀度；特别是，当 $\ell = 1$ 时，结果对所有 $2 \le k < \frac{n}{2}$ 成立，并提供了尖锐的定量估计。我们利用此移除引理解决了 Bollob\'as、Narayanan 和 Raigorodskii 关于 Kneser 图 $K(n,k)$ 随机子图独立数的问题。Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理表明 $\alpha(K(n,k)) = \binom{n-1}{k-1}$。对于某个常数 $c > 0$ 且 $k \le cn$，我们确定了该等式对 $K(n,k)$ 随机子图成立的尖锐阈值，并为 $k \le \tfrac12 (n-3)$ 提供了临界概率的强界。