有限域上多项式的相交族

本文建立了Erdős-Ko-Rado定理在有限域上多项式环中的类比，肯定地回答了C. Tompkins的一个猜想。一个大小为$n$的有限集合的子集的$k$-一致族称为$l$-相交的，如果族中任意两个子集至少相交$l$个元素。对这些相交族的研究是极值集合论的核心课题，其根源可追溯到1961年开创性的Erdős-Ko-Rado定理，该定理建立了这些族大小的一个尖锐上界。作为Erdős-Ko-Rado定理的类比，我们确定了有限域$F_q$上每个次数为$n$的首一多项式族的最大可能大小，其中族中每对多项式共享一个次数至少为$l$的公因子。我们证明了这个大小的上界是$q^{n-l}$，并刻画了所有达到此最大大小的极值族。进一步将我们的研究扩展到三重相交族（其中每三个多项式共享一个次数至少为$l$的公因子），我们证明只有平凡族能达到相应的上界。此外，通过将条件放宽到包含次数至多为$n$的多项式，我们确认只有平凡族能达到相应的上界。