关于集系上$\mathcal{L}$-交族的 Snevily 猜想及其在向量空间上的类比

关于集合$[n] = \{1, 2, \dots, n\}$的$k$-子集交族大小的经典 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理是集系中最基础的相交定理之一。在 EKR 定理建立之后，文献中出现了许多关于集系的相交定理，例如著名的 Frankl-Wilson 定理、Alon-Babai-Suzuki 定理和 Grolmusz-Sudakov 定理。1995 年，Snevily 提出猜想：在条件$\max \{l_{i}\} < \min \{k_{j}\}$下，$[n]$子集的$\mathcal{L}$-交族大小的上界为${{n} \choose {s}}$，其中$\mathcal{L} = \{l_{1}, \dots, l_{s}\}$且$0 \leq l_{1} < \cdots < l_{s}$，$k_{j}$为该族中的子集大小。本文证明了当$n \geq {{k^{2}} \choose {l_{1}+1}}s + l_{1}$时，Snevily 猜想成立，其中$k$为该族中的最大子集大小。随后，我们导出了有限域$\mathbb{F}_{q}$上$n$维向量空间子空间的$\mathcal{L}$-交族的类比结果。