大 $t$ 值下排列的极端 $t$-交叉族

集合 $\{1,2,\dots,n\}$ 的排列若是 $t$-交叉的，即任意两个排列在至少 $t$ 个输入上的一致。Kupavskii 近期的工作以 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理为 spirit，表明对于所有 $t\leq n-O\left(\frac{n\log\log n}{\log n}\right)$，大小最大的 $\{1,2,\dots,n\}$ 的 $t$-交叉族必同构于集合 $$A_k = \{\sigma : \sigma(i)=i\text{ 对至少 } t+k \text{ 个索引 } i\in\{1,2,\dots,t+2k\}\}$$ 其中某个 $k$。通过细化 Kupavskii 的 spread 近似技术，我们证明了这一结论对更广泛的范围 $t\leq n-n^{5/7+\varepsilon}$ 也成立。