$k$分割的Erd\H{o}s-Ko-Rado定理与Hilton-Milner类型定理

$k$分割的一个$n$集$X$是由$k$个两两不相交的非空子集组成，其并为$X$。一个$k$分割族被称为$t$交叉的，如果其中的任意两个成员至少共享$t$个块。若每个$k$分割族中的$t$分割都包含$t$个固定块，则称为平凡的，否则为非平凡的。在本文中，我们首先证明，对于$n \geq L(k,t):=(t+1)+(k-t+1)\cdot\log_2(t+1)(k-t+1)$，具有最大大小的$t$交叉族必须由包含$t$个固定单子集的所有$k$分割组成。这改进了Erd\H{o}s和Sz\'{e}kely (2000)以及Kupavskii (2023)给出的结果。我们进一步确定$n \geq 2L(k,t)$时具有最大大小的非平凡$t$交叉$k$分割族，这些族 turns out to be finite sets的相应族的自然类比。在此基础上，我们证明了一个稳定性结果。