关于 $r$-cross $t$-交叉分区族的问题

本文针对 $r$-cross $t$-交叉分区族的几个交叉问题进行了研究。$n$-集合 $X$ 的 $k$-分区是由 $k$ 个两两不相交的非空子集组成的，其并为 $X$。对于 $1\leq i\leq r$，设 $\mathcal{F}_i$ 为 $k_i$-分区的族。若对所有 $F_i\in\mathcal{F}_i$，都有 $|\cap_{i=1}^{r}F_i|\geq t$，则称 $\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\ldots,\mathcal{F}_r$ 为 $r$-cross $t$-交叉的。若对所有 $F\in\mathcal{F}_i$（$i=1,\ldots,r$），都有 $|\cap_{i=1}^r(\cap_{F\in\mathcal{F}_i}F)|<t$，则称这些族为非平凡的。我们证明了 Erd\H{o}s-Ko-Rado 类型定理，确定最大化 $\prod_{i=1}^r|\mathcal{F}_i|$ 的族。我们进一步确定具有最大分区族大小的非平凡 $r$-cross $t$-交叉族；这一结果也作为 Hilton-Milner 类型定理。特别地，当 $r=2$ 时，有两种可能的优化族结构，而当 $r\geq3$ 时，仅有一种结构。