关于交叉 $t$-相交族的 Erd\H os--Ko--Rado 定理

一个 $n$ 元集的两个 $k$-子集族 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 被称为是 {\em 交叉 $t$-相交} 的，如果对于子集 $A \in \mathcal{A}$ 和 $B \in \mathcal{B}$ 的所有选择，都有 $|A \cap B| \geq t$。我们探讨了以下猜想中的 Erd\H os--Ko--Rado 定理的交叉 $t$-相交版本：对于所有 $n \geq (t+1)(k-t+1)$，两个交叉 $t$-相交族 $\mathcal{A}, \mathcal{B} \subset\binom{[n]}{k}$ 的 $|\mathcal{A}||\mathcal{B}|$ 的最大值为 $\binom{n-t}{k-t}^2$。我们对所有 $t \geq 14$ 验证了这一点，但对于每个固定的 $t$，仅有有限多个 $n$ 和 $k$ 例外。此外，我们在这些情况下证明了唯一性和稳定性结果，例如表明达到此界的族在同构意义下是唯一的。我们还考虑了该问题的 {\em $p$-权重} 版本，该版本源自 $n$ 元集幂集上的乘积测度。