$\ell_2$-范数下的 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理

$k$-均匀家族 $\cal F \subseteq \binom{[n]} k$ 的 codegree 平方和 ${\rm co}_2(\cal F)$ 定义为所有 $E\in \binom{[n]}{k-1}$ 上 codegree 平方 $d(E)^2$ 的和，其中 $d(E)=|\{F\in \cal F: E\subseteq F\}|\}$。给定一个 $k$-均匀家族 $\mathscr H$，Balogh、Clemen 和 Lidick\'y 最近引入了一个问题：确定所有 $\mathscr H$-free $\cal F$ 中 ${\rm co}_2(\cal F)$ 的最大值。在本文中，我们考虑那些将所有与交集大小小于 $t$ 的集合对作为禁止配置的家族，即众所周知的 $t$-intersecting 家族。我们证明了以下 $\ell_2$-范数下的 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理，这确认了 Brooks 和 Linz 的猜想。设 $t,k,n$ 为正整数，且 $t\leq k\leq n$。若家族 $\mathcal F\subseteq \binom{[n]}{k}$ 为 $t$-intersecting，则当 $n\ge (t+1)(k-t+1)$ 时，有 \n\n$${\rm co}_2(\cal F)\le {\binom{n-t}{k-t}}(t+(n-k+1)(k-t)),$$\n\n当且仅当 $\mathcal{F}=\{F\in {\binom{[n]}{k}}: T\subset F\}$ for some $t$-subset $T$ of $[n]$ 时等式成立。此外，我们证明了 $t\ge 2$ 时的 Frankl-Hilton-Milner 定理在 $\ell_2$-范数下的形式，以及一个推广的 Tur\'an 结果，即我们确定 $t$-intersecting 家族中长度为 2 的紧路径的复制数的最大值。