Kneser 图中极值的无 $G$ 诱导子图

Kneser 图 ${\rm KG}_{n,k}$ 的顶点集为 $[n]$ 的所有 $k$-子集组成的族，若两顶点对应子集不相交则相邻。经典的 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理确定了 ${\rm KG}_{n,k}$ 中最大诱导 $K_2$-自由子图的基数与结构。作为 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理的推广，Erd\H{o}s 提出了一个关于 ${\rm KG}_{n,k}$ 中诱导 $K_{s+1}$-自由子图最大阶的猜想。作为该猜想最著名的结果，Frankl [Journal of Combinatorial Theory, Series A, 2013] 在 $n\geq(2s+1)k-s$ 时给出了该猜想的肯定回答，并确定了此类子图的结构。本文推广 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理与 Erd{\H o}s 匹配猜想，考虑确定最大族 $\mathcal{A}$ 的结构，使得 ${\rm KG}_{n,k}[\mathcal{A}]$ 不含同构于给定图 $G$ 的子图。对此，我们确定了该族的大小与结构，前提是 $n$ 相对于 $G$ 与 $k$ 足够大。此外，对 $G=K_{1,t}$ 的情形，我们给出了关于上述问题的 Hilton-Milner 型定理，其特例改进了 Gerbner 等人 [SIAM Journal on Discrete Mathematics, 2012] 的结果。