Erd\H{o}s--Ko--Rado 定理在排列与完美匹配中的鲁棒性

Erd\H{o}s--Ko--Rado 定理及其广化可视为对特定图族中最大独立集的分类，例如 Kneser 图 $K(n,k)$。本文我们考察两类满足 Erd\H{o}s--Ko--Rado 型分类的图族的随机生成子图的独立数：一个是由 Sym(n) 中排列集合上的derangement图，另一个是由完全图 $\mathcal{K}_{2n}$ 中完美匹配集合 $\mathcal{M}_{n}$ 上的derangement图。在两种情况下，我们都证明存在一个尖锐阈值概率，使得随机生成子图的独立数等于原图的独立数。作为辅助我们的计算的有用工具，我们获得了针对稀疏布尔函数的 Friedgut--Kalai--Naor（FKN）类型定理，其定义域是 $\mathcal{M}_{n}$ 的顶点集合。在 particular，我们表明，其傅里叶变换在 Sym(2n) 作用模 $\mathbb{C}[\mathcal{M}_{n}]$ 的前两个不可约模上高度集中于布尔函数的函数，接近于完美匹配derangement图上最大独立集的联合特征函数。