关于某些Erdős–Ko–Rado型结果的稳定性

考虑经典Kneser图$K(n,r)$：对于两个自然数$r, n$满足$r \le n/2$，其顶点为$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$的所有大小为$r$的子集，若对应子集不相交则这两个顶点相邻。Erdős–Ko–Rado定理指出该图中最大独立集的大小为$\binom{n-1}{r-1}$。现在以某固定概率$p$独立地删除图$K(n,r)$的每条边。令人惊讶的是，该图随机子图$K_p(n,r)$的独立数以高概率与初始图的独立数相同。此现象称为独立数的稳定性。本文关注图$G(n,r,1)$的随机子图的独立数，其顶点与Kneser图相同，且两顶点间有边当且仅当它们恰好交于一个元素。我们证明了对于常数$r$和$p=\frac{1}{2}$的稳定性结果。为此，我们表明$G(n,r,1)$中任意足够大的独立集具有某种预定义结构，这是具有独立兴趣的结果。