关于 $K_t$-自由图中最大 $F$-自由诱导子图

对于图 $F$ 和 $H$，设 $f_{F,H}(n)$ 为 $n$ 顶 $H$-自由图中最大 $F$-自由诱导子图的最小可能大小。此概念推广了 Ramsey 函数和 Erd\H{o}s--Rogers 函数。通过为 $F$-自由诱导子图建立容器引理，我们在假设存在某些局部稠密 $H$-自由图的条件下，给出 $f_{F,H}(n)$ 的一般上界。特别地，我们证明对于每个 $\mathrm{ex}(m,F) = O(m^{1+\alpha})$，其中 $\alpha \in [0,1/2)$，都有\n\n$$f_{F, K_3}(n) = O\left(n^{\frac{1}{2-\alpha}}\left(\log n\right)^{\frac{3}{2- \alpha}}\right) \quad \textrm{and} \quad f_{F, K_4}(n) = O\left(n^{\frac{1}{3-2\alpha}}\left(\log n\right)^{\frac{6}{3-2\alpha}}\right).$$\n\n对于 $F$ 为完全多部图的情况，设 $s = \sum_{i=1}^r s_i$，我们证明\n\n$$f_{K_{s_1,\ldots,s_r}, K_{r+2}}(n) = O \left( n^{\frac{2s -3}{4s -5}} (\log n)^{3} \right).$$\n\n我们还观察到通过多项式对数因子改进 $\mathrm{ex}(G(n,p),C_4)$ 的下界。