关于具有小 $s$-独立数的 Ramsey-Turán 数

设 $s$ 为整数，$f=f(n)$ 为函数，$H$ 为图。定义 Ramsey-Turán 数 $RT_s(n,H, f)$ 为阶为 $n$ 且无 $H$ 的图 $G$ 在 $\alpha_s(G) < f$ 条件下的最大边数，其中 $\alpha_s(G)$ 是 $G$ 的无 $K_s$ 诱导子图的最大顶点数。Ramsey-Turán 数引起了相当多的关注，且主要被研究于 $f$ 不太小于 $n$ 的情形。本文考虑固定 $\delta<1$ 时的 $RT_s(n,K_t, n^{\delta})$。我们证明对于任意小的 $\varepsilon>0$ 且 $1/2<\delta< 1$，对所有足够大的 $s$ 有 $RT_s(n,K_{s+1}, n^{\delta}) = \Omega(n^{1+\delta-\varepsilon})$。这几乎是最优的，因为一个平凡上界给出 $RT_s(n,K_{s+1}, n^{\delta}) = O(n^{1+\delta})$。此外，$\delta$ 的范围尽可能大。我们还考虑了更一般的情况，并给出了固定 $r\ge2$ 时 $RT_s(n,K_{s+r},n^{\delta})$ 的界。最后，我们讨论了 $RT_s(n, K_{2s+1}, f)$ 的相变，推广了 Balogh、Hu 和 Simonovits 近期的一些结果。