图中平铺的 Ramsey-Turán 理论

对于 $k$ 个顶点的图 $F$ 与 $n$ 个顶点的图 $G$，$G$ 中的一个 $F$-平铺是指 $G$ 中一组顶点不交的 $F$ 的副本。对于 $r\in \mathbb{N}$，$G$ 的 $r$-独立数记为 $\alpha_r(G)$，是指 $G$ 中最大的无 $K_r$ 顶点集的大小。在本文中，我们讨论平铺的 Ramsey–Turán 型定理，其中关注保证存在最优 $F$-平铺的最小度与独立数条件（以及二者之间的相互作用）。对于团，我们证明对任意 $k\geq 3$ 与 $\eta>0$，任意 $n$ 个顶点且 $\delta(G)\geq \eta n$ 与 $\alpha_k(G)=o(n)$ 的图 $G$ 具有一个覆盖除 $\lfloor\tfrac{1}{\eta}\rfloor(k-1)$ 个顶点外所有顶点的 $K_k$-平铺。该结果中的所有条件均为紧的；未被覆盖的顶点数无法改进，且对于 $\eta<\tfrac{1}{k}$，条件 $\alpha_{k-1}(G)=o(n)$ 并不充分。当 $\eta>\tfrac{1}{k}$ 时，我们进而证明 $\alpha_{k-1}(G)=o(n)$ 确实充分，但 $\alpha_{k-2}(G)=o(n)$ 不充分。这些结果统一并推广了 Balogh-Molla-Sharifzadeh、Nenadov-Pehova 以及 Balogh-McDowell-Molla-Mycroft 在此主题上的先前结果。我们进一步探讨了当 $F$ 为树或圈时的情形，并讨论了以 $\alpha^*(G)=o(n)$（意指任意一对不交的线性大小集合之间诱导出一条边）替代独立数条件的效果，此时可迫使覆盖所有顶点的完美 $F$-平铺。最后我们讨论了这些结果在随机扰动设定下的推论。