有限度超树的Ramsey-Dirac理论

Ramsey-Turán理论探讨在图G中寻找小子图的问题，其中补图$\overline{G}$不含合适的子图F（如线性规模的团）。类似地，可以考虑Dirac类型问题，即在图G中寻找 Spanning子图H，其中补图$\overline{G}$不含合适的子图F，我们称之为Ramsey-Dirac理论问题。当H为连通的Spanning子图时，两个大型团的不相交并 $K_{n/2}\cup K_{n/2}$ 表明必须考虑完全二分图F。Indeed, Han等人于2024年证明：若图G的顶点数为n且$\delta(G)=\Omega(n)$，且补图$\overline{G}$不含任意大小为$m=\Omega(n)$的完全二分图$K_{m,m}$，则G包含每个顶点数为n且度数有限的树T作为子图。本文将此结果推广到超树的Ramsey-Dirac理论，证明：若G为n顶点r-uniform超图且$\delta(G)=\Omega(n^{r-1})$，且补图$\overline{G}$不含任意大小为$m=\Omega(n)$的完全r-partite超图$K_{m,m,\dots, m}$，则G包含每个顶点数为n且度数有限的超树T作为子图。我们还证明了在相同设定下存在匹配和松散哈密顨回路，这扩展了Mcdiarmid和Yolov的结果到超图。该结果将Böttcher等人于2019年在随机扰动图上的普遍性结果推广到超图，并加强了Lenz、Mubayi和Mycroft于2016年以及Lenz和Mubayi于2016年关于准随机超图的结果，满足更弱的伪随机性条件。