图的非对称对的 Ramsey 等价性

若对图 $F$ 的边进行任意红/蓝着色均产生一个所有边为红色的 $G$ 的拷贝或一个所有边为蓝色的 $H$ 的拷贝，则称图 $F$ 是图对 $(G,H)$ 的 Ramsey 图。若两对图具有相同的 Ramsey 图集合，则称它们为 Ramsey 等价的。对称情形即 $G=H$ 的情形已受到相当关注。这引出了如下开放问题：是否存在连通图 $G$ 与 $G'$ 使得 $(G,G)$ 与 $(G',G')$ 是 Ramsey 等价的。我们在该问题的非对称版本上取得进展，并识别出若干非平凡的非对称 Ramsey 等价连通图对族。某些星图对提供了首个（尽管是平凡的）连通图 Ramsey 等价对的例子。我们的首个结果刻画了所有 Ramsey 等价的星图对。本文其余部分聚焦于形如 $(T,K_t)$ 的对，其中 $T$ 为一棵树、$K_t$ 为完全图。我们证明，若 $T$ 属于某类树族（包括所有非平凡星图），则 $(T,K_t)$ 与形如 $(T,H)$ 的一族对 Ramsey 等价，其中 $H$ 由 $K_t$ 通过向其某些顶点附加不相交的较小团得到。此外，我们确立：要使 $(T,H)$ 与 $(T,K_t)$ Ramsey 等价，$H$ 必须大致具有此形式。另一方面，我们证明对许多其他树 $T$（包括所有奇直径树），$(T,K_t)$ 不等价于任何此类对，甚至不等价于对 $(T, K_t\cdot K_2)$，其中 $K_t\cdot K_2$ 为带单条附加边的完全图 $K_t$。