关于 Erd\H{o}s 和 Rogers 的广义 Ramsey 数

作为 Ramsey 数概念的推广，Erd{\H o}s 和 Rogers 引入了以下函数。对于给定的整数 $2\le s<t$，令 $$f_{s,t}(n)=\min \{\max \{|W| : W\subseteq V(G) {且} G[W] {不含} K_s\} \},$$ 其中最小值取遍所有阶数为 $n$ 的 $K_t$-free 图 $G$。在本文中，我们证明了对于每个 $s\ge 3$，存在常数 $c_1=c_1(s)$ 和 $c_2=c_2(s)$，使得 $f_{s,s+1}(n) \le c_1 (\log n)^{c_2} \sqrt{n}$。该结果在相差一个多对数因子的意义下是最优的。我们还证明了对于所有 $t-2 \geq s \geq 4$，存在常数 $c_3$ 使得 $f_{s,t}(n) \le c_3 \sqrt{n}$。在此过程中，我们通过证明对于任意 $s\ge 4$ 有 $\lim_{n\to \infty} \frac{f_{s+1,s+2}(n)}{f_{s,s+2}(n)}=\infty$，部分回答了 Erd\H{o}s 的一个问题。