$K_r$ 自由图中的诱导子图与 Erd\H{o}s--Rogers 问题

对于两个图 $F,H$ 和正整数 $n$, 函数 $f_{F,H}(n)$ 表示最大的 $m$，使得每个 $H$ 自由图在 $n$ 个顶点中包含一个 $F$ 诱导子图在 $m$ 个顶点上。该函数在过去 60 年里，当 $F$ 和 $H$ 为克里奇图时得到了广泛研究，称为 Erd\H{o}s-Rogers 函数。最近，Balogh、Chen 和 Luo，以及 Mubayi 和 Verstra"ete 开始系统性地研究该函数在 $F$ 为一般图的情况下。我们证明了对于每个正整数 $r$ 和每个 $K_{r-1}$ 自由图 $F$, 存在某个 $\varepsilon_F>0$ 使得 $f_{F,K_r}(n)=O(n^{1/2-\varepsilon_F})$。该结果在两个方面都紧致。首先, 若 $F$ 包含 $K_{r-1}$ 作为子图则该结果不再成立。其次, 我们证明对于所有 $r\geq 4$ 和 $\varepsilon>0$, 存在一个 $K_{r-1}$ 自由图 $F$ 使得 $f_{F,K_r}(n)=\Omega(n^{1/2-\varepsilon})$。在证明此结果的过程中, 我们特别证明对于每个最小度为 $t$ 的图 $F$, 有 $f_{F,K_4}(n)=\Omega(n^{1/2-6/\sqrt{t}})$。这解答了 Mubayi 和 Verstra"ete 的另一个问题。最后, 我们证明存在绝对常数 $0<c<C$ 使得对于每个 $r\geq 4$, 若 $F$ 为最小度数足够大的二分图, 则 $\Omega(n^{\frac{c}{\log r}})\leq f_{F,K_r}(n)\leq O(n^{\frac{C}{\log r}})$。这表明对于最小度数较大的图 $F$, $f_{F,K_r}(n)$ 的行为与对应的非对角 Ramsey 数 $f_{K_2,K_r}(n)$ 截然不同。