给定尺寸诱导子图的若干改进

给定整数 $m$ 和 $f$，令 $S_n(m,f)$ 由所有满足如下条件的整数 $e$ 组成：每个具有 $e$ 条边的 $n$ 顶点图都包含一个具有 $f$ 条边的 $m$ 顶点诱导子图，并令 $\sigma(m,f)=\limsup_{n\rightarrow\infty} |S_n(m,f)|/\binom{n}{2}$。作为 Erd\H{o}s 极值问题的自然推广，这一问题在二十年前由 Erd\H{o}s、F\"uredi、Rothschild 和 S\'os 研究过。他们的主要结果表明，对于大多数数对 $(m,f)$，$S_n(m,f)$ 中的整数是稀少的，尽管他们也发现了无穷多对数对 $(m,f)$ 使得其 $\sigma(m,f)$ 为一个固定的正常数。本文旨在对此研究提供一些改进。我们的第一个结果表明，除有限多数对 $(m,f)$ 外均有 $\sigma(m,f)\leq \frac12$，且常数 $\frac12$ 无法改进。这回答了 Erd\H{o}s 等人的一个问题。我们的第二个结果考虑了特殊形式的无穷多对数对 $(m,f)$，其 $\sigma(m,f)$ 的精确值由 Erd\H{o}s 等人猜想。我们通过在与数论相关的某些构造上取得进展，部分解决了该猜想（仅剩两个未决情形）。我们的证明基于 Erd\H{o}s 等人的研究并涉及数论中的不同论证。我们还讨论了一些相关问题。