超图中不可避免的阶-边数对——正强制密度

Erd\H{o}s、F\"uredi、Rothschild和S\'os开创了对禁止给定顶点数 $m$ 与边数 $f$ 的任意诱导子图的图类的研究。将他们的记号推广到 $r$-图，若每个具有 $n$ 个顶点与 $e$ 条边的 $r$-图 $G$ 都含有一个具有 $m$ 个顶点与 $f$ 条边的诱导子图，我们记 $(n,e) \to_r (m,f)$。一对 $(m,f)$ 的\emph{强制密度}定义为 $$\sigma_r(m,f) =\left. \limsup\limits_{n \to \infty} \frac{|\{e : (n,e) \to_r (m,f)\}|}{\binom{n}{r}} \right. .$$ 在图的情形下，已知存在无穷多具有正强制密度的对 $(m, f)$。Weber提问：除平凡的 $(m, 0)$ 与 $(m, \binom{m}{r})$ 外，当 $r\geq 3$ 时是否存在具有正强制密度的对。回答她的问题，我们证明 $(6,10)$ 是 $r=3$ 时的这样一对，并猜想它是唯一的此类对。进一步，我们给出了一个对具有正强制密度的必要条件，以支持该猜想。