具有任意有理密度且无线性大小丰富子集的图

依赖随机选择的一个著名应用断言，任何具有正边密度的 $n$ 顶点图 $G$ 都包含一个大小为 $n^{1-o(1)}$ 的“丰富”顶点子集 $U$，使得 $U$ 中每对顶点至少有 $n^{1-o(1)}$ 个公共邻居。2003 年，Kostochka 和 Sudakov 利用超立方体上的优美构造证明了这是紧的：即使 $G$ 的边密度为 $1/2$，也无法去除 $o(1)$ 项。在本文中，我们将他们的结果从对推广到元组。确切地说，我们证明了对于每对正整数 $p<q$，对于所有足够大的 $n$，存在一个边密度为 $p/q$ 的 $n$ 顶点图 $G$，使得任何大小为 $\Omega(n)$ 的顶点子集 $U$ 都包含 $q$ 个顶点，其中任意 $p+1$ 个顶点仅有 $o(n)$ 个公共邻居。边密度 $p/q$ 是最优的。我们的构造利用了高维复球面上的等周不等式和测度集中现象。